Actividad 2. Números complejos resueltos

En base a la actividad publicada anteriormente.

Profesor, por favor, ¡explíqueme!

¿Por qué algunos universitarios aún tienen dependencia de los profesores? ¿Por qué ciertos alumnos siguen batallando con las matemáticas? ¿Tendrá algo que ver con su falta de interés? 

Si bien es cierto que este problema se tiene de ya hace tiempo, esto se fue agravando con el paso de los años por las distracciones que se interpusieron a la educación. Se dice que el uso excesivo de las tecnologías y sus aparatos, causan una deficiencia en la retención de información que se guarda en nuestro cerebro y esto tendría algo que ver del por qué se olvida esta rama tan importante de las matemáticas que es el álgebra.

Otra explicación que se le podría dar a estas preguntas, es que, los alumnos a nivel medio superior tienen cierta falta de interés en lo que es aprender, no extraen todos los conocimientos que deberían de las materias que se les imparte, algunos de ellos solo piensan en la calificación y no en el aprendizaje y esto los lleva a solo retener los conocimientos por cierto tiempo y después los olvidan. Y como resultado cuando cursan la universidad ya no recuerdan como emplear lo aprendido.

Ya que de parte del alumno se tiene cierto problema, también podría tener algo de influencia de parte del profesor, ya que, como se sabe no todos los profesores tiene la vocación de hacer que el alumno aprenda, sino simplemente cumplir con el trabajo y dar la clase por vista. Aunque esto no justifica al alumno ya que él, si tuviera interés buscaría aprender por su lado, pero si en ocasiones no aprende teniendo la información fácil y a su alcance, creo que menos si él tiene que buscarla. Por eso es que requieren de nuevo la explicación del tema para recordarlo y seguir con el aprendizaje.

Actividad 2. Números Complejos

Complex numbers from Matematica de Samos

Ejercicio 1 Resuelto.

Ejercicio 1 from Santiago Torres Ontiveros

Ejercicio 1.

Exercise 1 complex numbers operations from Matematica de Samos

¿Qué son los Fractales?

                                                
Es un objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.

El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal. Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.
El conjunto de Mandelbrot
Fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

           

                                

Los conjuntos de Julia

Estos conjuntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas .

Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto de valores de  que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

                                    
La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904,Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó sutriángulo y, un año después, su alfombra.

https://youtu.be/DK5Z709J2eo

Números imaginarios

Un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo:  es un número imaginario, así como  o  son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :^1 2 3

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a  el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que  era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. 

Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. En esta representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen.