Números Irracionales

Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde  y  son enteros y  es diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como una fracción decimal aperiódica infinita.4 En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

1.  (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182...): 
3.  (Número "áureo" 1,6180...): 

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7;  no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales.

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Números Enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Enteros = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}.

Dado que los enteros contienen los números enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros. Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. También pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones).

Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

El orden numérico es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto)

Propiedades de los números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN.

5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.

Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.

             1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:

                                7 + 6 = 5 + 8

                                    13 = 13

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:

                                10 · 6 = 5 · 12

                                    60 = 60

Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5;   9 · 1 = 9 ...

Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.

Verifiquemos que   5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6

   5·9 = 15 + 30

  45 = 45

Sistemas de numeración no posicional

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos  grupos: posicionales y no-posicionales:

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, no depende de la posición  que ocupan en el número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

Sistemas de numeración no posicionales.

Estos son los más antiguos, se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad.

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero (existen inscripciones datadas hacia el año 36 a. C. que así lo atestiguan).

Un sistema de numeración es posicional cuando el número representado se calcula asignando a cada dígito un valor que depende exclusivamente de cada símbolo y de su posición. Los sistemas más comunes, los sistemas de numeración en base constante, son sistemas posicionales. En cambio, otros sistemas como el romano o BCD no lo son.

En los sistemas no posicionales, los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupan en el número. En estos sistemas, aunque se prefería un orden de representación, los dígitos podían aparecer en cualquier posición. Entre los sistemas de numeración no posicional se encuentra el romano:

X = 10

lX = -1 + 10 = 9

XXX = 10+10+10 = 30        

XC = 100-10 = 90

En todos los ejemplos la X vale siempre 10.

Así como el egipcio:

El sistema de numeración egipcio era decimal y no posicional. Cada unidad se representaba con un trazo vertical; las decenas, con un arco, y las centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar y millones, con un jeroglífico específico.

Observa los siguientes ejemplos y comprueba que el valor es el mismo en ambos casos.

Actividad 2. Números Complejos

Complex numbers from Matematica de Samos

Origen De Los Números

La historia de nuestros números es  muy antigua, no sabemos con certeza hace cuánto tiempo los humanos comenzaron a usarlos, lo que sí podemos asegurar es que desde el principio el hombre necesitó palabras para expresar cantidades, siempre con el uso de los dedos de las manos como origen y en los primeros pueblos primitivos. En el cultivo de la tierra y en los negocios con animales, empezó un sistema de conteos de los números, ya sea con marcas hecha en un tronco, nudos, piedras entre otras alternativas.

Con el paso del tiempo necesitaron representar números cada vez mayores y tuvieron que inventar símbolos adecuados. Los primeros sistemas de numeración estaban basados en la yuxtaposición, es decir, en ir colocando los símbolos uno a continuación de otro. Los Romanos por ejemplo, empleaban un conjunto de siete símbolos. Los Números son ideas de cantidad que se encuentran en nuestra mente, es la forma como representamos o escribimos una idea de cantidad. Nuestro sistema de numeración es decimal. Recibe este nombre por que emplea diez símbolos. Es un sistema de numeración que no está basado en la yuxtaposición, sino que es posicional. Poco a poco, el sistema decimal fue suplantando al sexagesimal en la vida corriente, per en los cálculos matemáticos de sacerdotes y sabios el sistema sexagesimal siguió manteniéndose como indispensable para verificar cálculos complicados, a la vez que se convertía en una especie de numeración secreta.

Sin embargo, se encontraron con números que era imposible transcribir con dicho sistema, el primero de los cuales era 1/7; es imposible expresar la séptima parte de algo mediante fracciones sexagesimales, pues se necesita una serie interminable: 1/7 = 8/60 + 34/3.600 + 17/216.000 + ... que los escribas anotaban como 8,34,17.

Esta irreductibilidad del número 7 hizo que lo consideraran de mal agüero y lo atribuyeran a los demonios divinos, los cuales eran siete veces siete, es decir, totalmente irreductubles. De aquí se deducía que el más prudente era no emprender ningún trabajo en los días 7, 14 y 28 de cada mes. Ese fue el origen de la semana, y si bien el Génesis y demás libros sagrados de los hebreos hicieron desaparecer el sentido maléfico del siete, todavía lo sacralizaron más.

El sistema romano todavía es utilizado, claro que en las fechas de monumentos, para escribir en algunos textos los siglos, etc. El sistema de numeración actual fue inventado por los Hindúes en el siglo II. Los Árabes los introdujeron en Europa a través de España y desde allí se extendió por todo el mundo, ya que permitía operar con grandes cifras de un modo muy sencillo. Entre los griegos y romanos, por ejemplo, realizar una división o una multiplicación medianamente complicadas requería años y años de estudios de matemáticas. Con el hallazgo de los hindúes, cualquier niño puede aprender en el colegio las reglas básicas de la aritmética.

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:

-Números naturales.

-Número primo.

-Números compuestos.

-Números perfectos.

-Números enteros.

-Números pares.

-Números impares

 -Números racionales

 -Números reales.

-Números irracionales.

-Números algebraicos.

-Números trascendentes

 -Números hiperreales.

 -Números complejos.

 -Cuaterniones.

 -Números infinitos.

 -Números negativos.

- Números fundamentales: π y e.

Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría.

Con la clasificación de los números, surge otro problema natural más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.