Propiedades de los números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN.

5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.

Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.

             1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:

                                7 + 6 = 5 + 8

                                    13 = 13

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que  (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:

                                10 · 6 = 5 · 12

                                    60 = 60

Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5;   9 · 1 = 9 ...

Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.

Verifiquemos que   5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6

   5·9 = 15 + 30

  45 = 45